Оптимизация ресурсов, Пример 1

Планирование производства, закупок, оптимизация параметров объектов. Искомыми переменными являются количества продукции или товара каждого вида.

Задаются:

• расход каждого ресурса при производстве или закупке единицы продукции или товара каждого вида,

• ограничение-план производства или закупки-продажи по каждому ресурсу,

• другие ограничения и взаимосвязи между переменными,

• величина эффекта от производства или закупки-продажи единицы каждой продукции или товара. Максимизируется результирующий эффект.

Продукцией может являться также параметр сырья, изделия, организации, а ресурсом и ограничением, - показатель и уровень его качества.

Иллюстрация. Требуется максимизировать прибыль или минимизировать расходы при закупке двух товаров. Товар А-арбуз, обязательной номенклатуры, дорогой и малоприбыльный можно закупать по необходимости (обозначим А1) или партией 100-300 ед. (обозначим А2). Товар С-сигареты, дешевый и прибыльный, но есть проблемы с покупкой.

Поэтому нужно рассмотреть варианты А и А+С.

Параметры товаров приведены в таблице.

Товар цена цена спрос

покупки продажи

А1 125 120 200-400

А2 100 120 200-400

С 10 20 0-5000

Здесь переменными являются количества закупленного и проданного товара, ресурсами - деньги и товары, ограничением-планом - наличие денег и товаров и спрос, расходом - стоимость, эффектом - цена, результирующим эффектом - прибыль или расходы закупок, взятые с обратным знаком.

Для проницательного читателя приведены математические выкладки. Их можно пропустить.

Обозначим переменные:

Х1, Х4 - число проданных товаров А и С

Х2, Х3 - число купленных товаров А1 и А2

Ограничения-план по диапазону для купленных товаров - величина партии или спрос, для проданных товаров - спрос.

Ограничения - взаимосвязи:

-продано товаров А не больше, чем куплено: X1<=X2+X3 -расходы при закупке партий товаров не больше 40000: 100*X3+10*X4<=40000 -прибыль должна быть не меньше 5000 и составлять (15 - 40) % от расходов при закупке партий товаров, причем, последнее ограничение (40%) по прибыли не обязательно : (120*X1-125*X2-100*X3+10*X4)>=5000 (120*X1-125*X2-100*X3+10*X4)>=0.15*(100*X3+10*X4) (120*X1-125*X2-100*X3+10*X4)<=0.40*(100*X3+10*X4) Нужно рассчитать 2 варианта, - максимизировать прибыль или минимизировать расходы при закупке партий товаров. Так как используемая программа рассчитана только на максимизацию, для минимизации расходов используем их величины, взятые с обратным знаком Максимизируемые функции: -прибыль: F1= 0 +120*X1 -125*X2 -100*X3 +10*X4 -отрицательные расходы при закупке партий изделий: F2= 0 - 0 *X1 - 0 *X2 -100*X3 - 10 *X4 **************************************************************** Результаты расчетов Арбузы и сигареты *** Оптимизация ресурсов. optim.dat *** переменных 4 ограничений 5 функций 2 ** Значение 1-й функции: 16000 прибыль *** переменные и ограничения *** арбузы продан. **1 400 запас по арбузам **5 0 арбузы куплен. **2 106.667 запас по расходам **6 0 партия арбузов **3 293.333 запас по объему прибыли **7 11000 сигареты **4 1066.67 запас по 15% прибыли **8 8933.33 запас по 40% прибыли **9 0 Удивляет покупка себе в убыток, но для обеспечения спроса, дорогих арбузов вместо более дешевых партией. Это объясняется действием последнего ограничения прибыли сверху, что ограничивает максимизацию прибыли. Получено одно из допустимых для ограничений решений. ** Значение 2-й функции: -13500 расходы с обрат. знаком *** переменные и ограничения *** **1 200 **5 0 **2 100 **6 26500 **3 100 **7 0 **4 350 **8 2625 **9 399.999 *** Оптимизация ресурсов. optim.dat *** Минимизация расходов диктует покупку минимальной партии арбузов. Спрос арбузов удовлетворяется дорогими арбузами без увеличения расходов, так как прибыль от продажи сигарет покрывает все. Конкретное решение определяют существенные ограничения, - те, которые имеют нулевой запас, - правый столбец, первое и третье ограничения. переменных 4 ограничений 4 последнее ограничение по 40% прибыли снято функций 2 ** Значение 1-й функции: 31500 *** переменные и ограничения *** **1 200 **5 0 **2 100 **6 0 **3 100 **7 26500 **4 3000 **8 22500 Убыточная (на первый взгляд) покупка дорогих арбузов объясняется ограничением ресурса денег и наибольшей прибыльностью сигарет. Выгодно купить максимум сигарет, на оставшиеся деньги купить дешевых арбузов партией, а остальные арбузы приходится добавлять по необходимости. Этот пример показывает, что правильный результат можно получить только методичным поиском вариантов и их анализом, что, собственно, и происходит. ** Значение 2-й функции: -13500 *** переменные и ограничения *** **1 200 **5 0 **2 100 **6 26500 **3 100 **7 0 **4 350 **8 2625 Только арбузы *** Оптимизация ресурсов. optim.dat *** переменных 3 последняя переменная (сигареты) снята ограничений 5 функций 2 ** Значение 1-й функции: 6000 *** переменные и ограничения *** **1 300 **4 0 **2 0 **5 10000 **3 300 **6 1000 **7 1500 **8 6000 ** Значение 2-й функции: -25000 *** переменные и ограничения *** **1 250 **4 0 **2 0 **5 15000 **3 250 **6 0 **7 1250 **8 5000 Выбран минимальный размер партии, удовлетворяющий ограничению снизу объема прибыли. *** Оптимизация ресурсов. optim.dat *** переменных 3 ограничений 4 функций 2 ** Значение 1-й функции: 6000 *** переменные и ограничения *** **1 300 **4 0 **2 0 **5 10000 **3 300 **6 1000 **7 1500 ** Значение 2-й функции: -25000 *** переменные и ограничения *** **1 250 **4 0 **2 0 **5 15000 **3 250 **6 0 **7 1250

При анализе результатов нужно искать существенные ограничения. Они имеют запас, равный нулю, то есть неравенства превращаются в равенства (правый столбец). Видно, что результаты оптимизации могут быть нетривиальны даже для одного - двух товаров.