Оптимизация ресурсов, Пример 2

Простейшая динамическая модель макроэкономики.

Рассматривается развитие экономики через определенный промежуток времени, например, по окончании каждого квартала.

Валовой продукт Z каждой отрасли или подразделения предприятия в каждый рассматриваемый момент времени T составляют в денежном выражении:

• прямые затраты A*Z этой отрасли на изготовление продукции для себя и каждой другой отрасли, где A - удельные затраты на единицу продукции,

• затраты на потребление Y,

• затраты на расширение производства U=X*DZ, где X - значение удельной

нормы продукции этой отрасли, идущей на расширение производства себя и каждой другой отрасли, DZ - приращение валового продукта этой отрасли за текущий период,

при следующих естественных ограничениях:

• валовой продукт Z ограничен минимальным D1 и максимальным D2 значениями,

• удельная норма продукции X, идущей на расширение производства, также ограничена минимальным X1 и максимальным X2 значениями,

• общая сумма инвестиций на развитие экономики ограничена величиной U0,

• DZ больше нуля, - это условие стабильности развития.

Все величины зависят от времени, дающей и принимающей отраслей.

Для проницательного читателя приведем матричную запись.

Z(T)=A(T)*Z(T)+U(T)+Y(T), D2(T)>=Z(T)>=D1(T),

X2(T)DZ >=U(T)>=X1(T)DZ, DZ=Z(T)-Z(T-1), DZ>0,

где Т - номер момента времени, Z(0)-вектор начальных запасов.

Величины Z(T) являются параметрами состояния, а - U(T) - искомыми управляющими параметрами экономики. Состояние экономики определяется суммой параметров состояния.

Максимизируется взвешенная сумма инвестиций на развитие каждой, J-й, отрасли в каждый момент F=C(1,1)U(1,1)+...C(J,T)U(J,T)+...C(N,P-1)*U(N,

P-1), где C(J,T)-заданный коэффициент приоритета, P - количество дискретов времени.

Эта модель может быть использована, также, как модель внешней среды при разработке прогноза ее развития.

Иллюстрация. Требуется составить прогноз развития 3-х подразделений предприятия на год поквартально. Это градообразующее предприятие, валовой продукт которого представляет экономику города, состоит из основного производства (готовая продукция), отдела главного механика (тепло, вода, строительство) и отдела снабжения (сырье, энергия, транспорт). Подразделения взаимосвязаны. Доля затрат каждого подразделения на себя и на обеспечение работы каждого другого подразделения известна и определена матрицей А. Максимально допустимая доля затрат каждого подразделения, которую можно отдать на развитие, - себя и каждого другого подразделения, также известна и определена матрицей Х2. Затраты каждого подразделения на потребление заданы вектором Y. Матрицы А и Х2 и вектор Y не зависят от номера квартала и поквартально имеют следующий вид:

A X2 Y

0.3 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 5-10

0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 5-10

0.0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 5-10

Матрица Х1 нулевая. Результаты расчета не приведены из-за громоздкости.