Оптимизация ресурсов, Пример 4. Система линейных уравнений.

Система линейных уравнений. Часто нужно не распределить, а только перераспределить имеющиеся ресурсы, сохранив баланс в новых экономических условиях, - изменения цен, спроса, поставок и тому подобное, - то есть, не оптимизировать, а определить предельные значения параметров, когда все ограничения удовлетворены и превращаются в равенства, - решить систему уравнений. Это может быть определение состояния предприятия при изменении: - грузопотоков при изменении состояния дорог, - рациона при изменении требований к качеству питания или наоборот и тому подобное. Это могут быть и чисто инженерные задачи, приводящие к решению уравнений. Большой размер системы уравнений обычно приводит к необходимости ее корректировки, так как она получается несовместной в интересующем диапазоне переменных. Кроме того, ограничений-уравнений может быть больше, чем переменных или, наоборот, не все ограничения известны. Подспорьем является только то, что обычно известны интересующие диапазоны переменных. Замена уравнений-равенств на неравенства устраняет эти проблемы. Оптимальное решение неравенств, когда все запасы ограничений обнуляются, является искомым решением равенств, а наличие неустраненных запасов или зашкаливание-выход на границы диапазонов - информацией для достижения баланса путем корректировки системы. Иллюстрация 1. Дана совместная система уравнений. 3X1 - 6X2 + 2X3 = -3 -2X1 + 8X2 - 3X3 = 5 5X1 - 7X2 - 4X3 = -21 В задаче выбора места строительства коттеджа она может выражать зависимости между расстоянием от метро Х1, от железной дороги Х2 и от теплоцентрали Х3 и количеством потенциальных покупателей (5), затратами на обустройство территории (-3) и затратами на строительство теплотрассы (-21). ** Результаты расчетов ** Оптимизация ресурсов. optim.dat переменных 3 ограничений 3 переменные и ограничения* 1 1 4 0 2 2 5 0 3 3 6 0 Запасы ограничений (правый столбец) равны нулю - система решена. Переменных меньше, чем ограничений Оптимизация ресурсов. optim.dat ** переменных 2 третьей переменной нет ограничений 3 переменные и ограничения 1 -5.11542 3 8.42315 2 -0.653854 4 0 5 0 Решение получено, можно корректировать. Переменных больше, чем ограничений Оптимизация ресурсов. optim.dat ** переменных 3 ограничений 2 третьего уравнения нет переменные и ограничения 1 -16.1666 4 0 2 -40.9167 5 0 3 -100 Решение получено, оно совпадает с приведенным ниже решением вырожденной системы, у которой 3-е уравнение равно сумме двух первых. Задан узкий диапазон 3-й переменной: 3;3.001 Оптимизация ресурсов. optim.dat ** переменных 3 ограничений 2 переменные и ограничения 1 0.999992 4 0 2 1.99999 5 0 3 3 Решение совпадает со случаем полного количества уравнений. Пример показывает возможность фиксации переменных для детального анализа интересующей области переменных при отсутствии определяющих их ограничений-уравнений. Дана вырожденная система с бесконечным количеством решений. Последнее уравнение равно сумме двух первых: 3X1 - 6X2 + 2X3 = -3 -2X1 + 8X2 - 3X3 = 5 1X1 + 2X2 - 1X3 = 2 Оптимизация ресурсов. optim.dat переменных 3 ограничений 3 переменные и ограничения * 1 -16.1666 4 0 2 -40.9167 5 2.28882e-05 3 -100 6 0 Признак вырожденности - 3-я переменная находится на границе диапазона. Задан узкий диапазон 3-й переменной: 3;3.001 Оптимизация ресурсов. optim.dat ** переменных 3 ограничений 3 переменные и ограничения 1 0.999992 4 0 2 2 5 0 3 3 6 1.14441e-05 Решение совпадает с решением совместной системы. Дана несовместная система уравнений. Увеличен на 1 свободный член 3-го уравнения предыдущей системы: 1X1 + 2X2 - 1X3 = 3 ** Оптимизация ресурсов. optim.dat переменных 3 ограничений 3 переменные и ограничения * 1 -16.1666 4 0 2 -40.9167 5 0 3 -100 6 0.999969 Признак несовместности системы - ненулевой запас 3-го ограничения. Видно, что уменьшение его свободного члена на 1 сделает систему вырожденной. Решение совпадает с решением вырожденной системы. Задан узкий диапазон 3-й переменной: 3;3.001 Оптимизация ресурсов. optim.dat ** переменных 3 ограничений 3 переменные и ограничения 1 0.999992 4 0 2 2 5 0 3 3 6 1.00001 Признак несовместности системы - ненулевой запас 3-го ограничения. Корректировка такая же. Решение совпадает с решением совместной системы. Иллюстрация 2. Инженерная задача. По данным тензодатчиков механической конструкции определяются воздействующие на нее нагрузки. Это можно использовать для создания весов, для контроля текущего состояния корпуса и грузов судна или самолета путем сравнения схемы загрузки, полученной по данным тензодатчиков, со схемой реальной загрузки. Для удобства изменения только правой части ограничений введен специальный файл - лог-файл. Система уравнений взята из предыдущего примера. Лог-файл с данными тензодатчиков имеет следующий вид: -3 ; 5 ; -21 ; 1-я строка -4 ; 8 ; -27 ; 2-я строка -6 ; 10 ; -42 ; 3-я строка Результаты расчетов ** Оптимизация ресурсов. optim.dat * переменных 3 ограничений 3 Лог-файл 1, строка 1 1 1 4 0 2 2 5 0 3 3 6 0 Лог-файл 1, строка 2 1 2 4 0 2 3 5 0 3 4 6 0 Лог-файл 1, строка 3 1 2 4 0 2 4 5 0 3 6 6 0 Конец лог-файла.